嗨！昨天我试着写点关于浮点数的东西，我发现自己对这个 64 位浮点数的计算方法很好奇：

>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004

我意识到我并没有完全理解它是如何计算的。我的意思是，我知道浮点计算是不精确的，你不能精确地用二进制表示 0.1，但是：肯定有一个浮点数比 0.30000000000000004 更接近 0.3！那为什么答案是 0.30000000000000004 呢？

如果你不想阅读一大堆计算过程，那么简短的答案是： 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 + 0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125 正好位于两个浮点数之间，即 0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875 （通常打印为 0.3） 和 0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125（通常打印为 0.30000000000000004）。答案是 0.30000000000000004，因为它的尾数是偶数。

浮点加法是如何计算的

以下是浮点加法的简要计算原理：

• 把它们精确的数字加在一起
• 将结果四舍五入到最接近的浮点数

让我们用这些规则来计算 0.1 + 0.2。我昨天才刚了解浮点加法的计算原理，所以在这篇文章中我可能犯了一些错误，但最终我得到了期望的答案。

第一步：0.1 和 0.2 到底是多少

首先，让我们用 Python 计算 0.1 和 0.2 的 64 位浮点值。

>>> f"{0.1:.80f}"
'0.10000000000000000555111512312578270211815834045410156250000000000000000000000000'
>>> f"{0.2:.80f}"
'0.20000000000000001110223024625156540423631668090820312500000000000000000000000000'

这确实很精确：因为浮点数是二进制的，你也可以使用十进制来精确的表示。但有时你只是需要一大堆数字:)

第二步：相加

接下来，把它们加起来。我们可以将小数部分作为整数加起来得到确切的答案：

>>> 1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 + 2000000000000000111022302462515654042363166809082031250
3000000000000000166533453693773481063544750213623046875

所以这两个浮点数的和是 0.3000000000000000166533453693773481063544750213623046875。

但这并不是最终答案，因为它不是一个 64 位浮点数。

第三步：查找最接近的浮点数

现在，让我们看看接近 0.3 的浮点数。下面是最接近 0.3 的浮点数（它通常写为 0.3，尽管它不是确切值）：

>>> f"{0.3:.80f}"
'0.29999999999999998889776975374843459576368331909179687500000000000000000000000000'

我们可以通过 struct.pack 将 0.3 序列化为 8 字节来计算出它之后的下一个浮点数，加上 1，然后使用 struct.unpack：

>>> struct.pack("!d", 0.3)
b'?\xd3333333'
# 手动加 1
>>> next_float = struct.unpack("!d", b'?\xd3333334')[0]
>>> next_float
0.30000000000000004
>>> f"{next_float:.80f}"
'0.30000000000000004440892098500626161694526672363281250000000000000000000000000000'

当然，你也可以用 math.nextafter：

>>> math.nextafter(0.3, math.inf)
0.30000000000000004

所以 0.3 附近的两个 64 位浮点数是 0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875 和 0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125。

第四步：找出哪一个最接近

结果证明 0.3000000000000000166533453693773481063544750213623046875 正好在 0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875 和 0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125 的中间。

你可以通过以下计算看到：

>>> (3000000000000000444089209850062616169452667236328125000 + 2999999999999999888977697537484345957636833190917968750) // 2 == 3000000000000000166533453693773481063544750213623046875
True

所以它们都不是最接近的。

如何知道四舍五入到哪一个？

在浮点数的二进制表示中，有一个数字称为“尾数”。这种情况下（结果正好在两个连续的浮点数之间），它将四舍五入到偶数尾数的那个。

在本例中为 0.300000000000000044408920985006261616945266723632812500。

我们之前就见到了这个数字的尾数：

• 0.30000000000000004 是 struct.unpack('!d', b'?\xd3333334') 的结果
• 0.3 是 struct.unpack('!d', b'?\xd3333333') 的结果

0.30000000000000004 的大端十六进制表示的最后一位数字是 4，它的尾数是偶数（因为尾数在末尾）。

我们用二进制来算一下

之前我们都是使用十进制来计算的，这样读起来更直观。但是计算机并不会使用十进制，而是用 2 进制，所以我想知道它是如何计算的。

我不认为本文的二进制计算部分特别清晰，但它写出来对我很有帮助。有很多数字，读起来可能很糟糕。

64 位浮点数如何计算：指数和尾数

64 位浮点数由 2 部分整数构成：指数和尾数，还有 1 比特 符号位.

以下是指数和尾数对应于实际数字的方程：

例如，如果指数是 1，尾数是 2**51，符号位是正的，那么就可以得到：

它等于 2 * (1 + 0.5)，即 3。

步骤 1：获取 0.1 和 0.2 的指数和尾数

我用 Python 编写了一些低效的函数来获取正浮点数的指数和尾数:

def get_exponent(f):
    # 获取前 52 个字节
    bytestring = struct.pack('!d', f)
    return int.from_bytes(bytestring, byteorder='big') >> 52

def get_significand(f):
    # 获取后 52 个字节
    bytestring = struct.pack('!d', f)
    x = int.from_bytes(bytestring, byteorder='big')
    exponent = get_exponent(f)
    return x ^ (exponent << 52)

我忽略了符号位（第一位），因为我们只需要处理 0.1 和 0.2，它们都是正数。

首先，让我们获取 0.1 的指数和尾数。我们需要减去 1023 来得到实际的指数，因为浮点运算就是这么计算的。

>>> get_exponent(0.1) - 1023
-4
>>> get_significand(0.1)
2702159776422298

它们根据 2**指数 + 尾数 / 2**(52 - 指数) 这个公式得到 0.1。

下面是 Python 中的计算:

>>> 2**-4 + 2702159776422298 / 2**(52 + 4)
0.1

（你可能会担心这种计算的浮点精度问题，但在本例中，我很确定它没问题。因为根据定义，这些数字没有精度问题 -- 从 2**-4 开始的浮点数以 1/2**(52 + 4) 步长递增。）

0.2 也一样:

>>> get_exponent(0.2) - 1023
-3
>>> get_significand(0.2)
2702159776422298

它们共同工作得到 0.2:

>>> 2**-3 + 2702159776422298 / 2**(52 + 3)
0.2

（顺便说一下，0.1 和 0.2 具有相同的尾数并不是巧合 —— 因为 x 和 2*x 总是有相同的尾数。）

步骤 2：重新计算 0.1 以获得更大的指数

0.2 的指数比 0.1 大 -- -3 大于 -4。

所以我们需要重新计算：

2**-4 + 2702159776422298 / 2**(52 + 4)

等于 X / 2**(52 + 3)

如果我们解出 2**-4 + 2702159776422298 / 2**(52 + 4) = X / 2**(52 + 3)，我们能得到：

X = 2**51 + 2702159776422298 / 2

在 Python 中，我们很容易得到：

>>> 2**51 + 2702159776422298 //2
3602879701896397

步骤 3：添加符号位

现在我们试着做加法：

2**-3 + 2702159776422298 / 2**(52 + 3) + 3602879701896397 / 2**(52 + 3)

我们需要将 2702159776422298 和 3602879701896397 相加：

>>> 2702159776422298  + 3602879701896397
6305039478318695

棒。但是 6305039478318695 比 2**52-1（尾数的最大值）大，问题来了:

>>> 6305039478318695 > 2**52
True

第四步：增加指数

目前结果是：

2**-3 + 6305039478318695 / 2**(52 + 3)

首先，它减去 2**52：

2**-2 + 1801439850948199 / 2**(52 + 3)

完美，但最后的 2**(52 + 3) 需要改为 2**(52 + 2)。

我们需要将 1801439850948199 除以 2。这就是难题的地方 -- 1801439850948199 是一个奇数!

>>> 1801439850948199  / 2
900719925474099.5

它正好在两个整数之间，所以我们四舍五入到最接近它的偶数（这是浮点运算规范要求的），所以最终的浮点结果是:

>>> 2**-2 + 900719925474100 / 2**(52 + 2)
0.30000000000000004

它就是我们预期的结果：

>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004

在硬件中它可能并不是这样工作的

在硬件中做浮点数加法，以上操作方式可能并不完全一模一样（例如，它并不是求解 “X”），我相信有很多有效的技巧，但我认为思想是类似的。

打印浮点数是非常奇怪的

我们之前说过，浮点数 0.3 不等于 0.3。它实际上是:

>>> f"{0.3:.80f}"
'0.29999999999999998889776975374843459576368331909179687500000000000000000000000000'

但是当你打印它时，为什么会显示 0.3？

计算机实际上并没有打印出数字的精确值，而是打印出了最短的十进制数 d，其中 f 是最接近 d 的浮点数。

事实证明，有效做到这一点很不简单，有很多关于它的学术论文，比如 快速且准确地打印浮点数、如何准确打印浮点数 等。

如果计算机打印出浮点数的精确值，会不会更直观一些？

四舍五入到一个干净的十进制值很好，但在某种程度上，我觉得如果计算机只打印一个浮点数的精确值可能会更直观 -- 当你得到一个奇怪的结果时，它可能会让你看起来不那么惊讶。

对我来说，0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 + 0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125 = 0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125 比 0.1 + 0.2 = 0.30000000000000000004 惊讶少一点。

这也许是一个坏主意，因为它肯定会占用大量的屏幕空间。

PHP 快速说明

有人在评论中指出在 PHP 中 <?php echo (0.1 + 0.2 );?> 会输出 0.3，这是否说明在 PHP 中浮点运算不一样？

非也 —— 我在 这里 运行:

<?php echo (0.1 + 0.2 )- 0.3);?>，得到了与 Python 完全相同的答案：5.5511151231258E-17。因此，浮点运算的基本原理是一样的。

我认为在 PHP 中 0.1 + 0.2 输出 0.3 的原因是 PHP 显示浮点数的算法没有 Python 精确 —— 即使这个数字不是最接近 0.3 的浮点数，它也会显示 0.3。

总结

我有点怀疑是否有人能耐心完成以上所有些算术，但它写出来对我很有帮助，所以我还是发表了这篇文章，希望它能有所帮助。

（题图：MJ/53e9a241-14c6-4dc7-87d0-f9801cd2d7ab）